衛(wèi)生學(xué)電子教材-第七章 計(jì)量資料的統(tǒng)計(jì)方法:第三節(jié) 計(jì)量資料的統(tǒng)計(jì)推斷

本節(jié)介紹計(jì)量資料的統(tǒng)計(jì)推斷。正態(tài)分布總體有2個(gè)參數(shù)或特征量——均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ，其中均數(shù)作為總體變量值的代表值，是最重要的。醫(yī)學(xué)現(xiàn)象受特定因素的影響反映在均數(shù)的變化上。例如性別和年齡對(duì)兒童身高的影響反映在兒童身高的均數(shù)的變化上。因此計(jì)量資料的統(tǒng)計(jì)推斷主要指如何由樣本統(tǒng)計(jì)量推斷總體均數(shù)。

設(shè)X是均數(shù)為μ、標(biāo)準(zhǔn)差為σ的總體的變量，從總體中隨機(jī)抽取含量n的樣本，算出樣本均數(shù) ，所有可能的含量n的樣本均數(shù)構(gòu)成變量為 的總體。由于原總體中的X值存在差別，隨機(jī)抽樣每個(gè)樣本抽到的n個(gè)X值有所不同，因此樣本均數(shù)總體中的 值也存在差別。在第五章第一節(jié)已述，由抽樣造成的樣本統(tǒng)計(jì)量和相應(yīng)總體參數(shù)的差別稱(chēng)為抽樣誤差，因此由抽樣造成的樣本均數(shù)和總體均數(shù)的差別稱(chēng)為均數(shù)的抽樣誤差。樣本均數(shù)總體中 值的差別是抽樣誤差造成的�？傮w均數(shù)μ為定值，分析樣本均數(shù) 的分布情況就可得出抽樣誤差 -μ的分布情況。下述規(guī)律是用數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論推導(dǎo)出來(lái)的：

1.若原變量X服從正態(tài)分布，則含量n的樣本均數(shù) 也服從正態(tài)分布。即使原變量X服從偏態(tài)分布，據(jù)中心極限定理（central limit theorem)，當(dāng)n足夠大時(shí)（比如n＞30)， 也近似服從正態(tài)分布。

2.若原變量 X的總體（不管正態(tài)或偏態(tài))均數(shù)為 μ、標(biāo)準(zhǔn)差為σ，則

從無(wú)限總體抽樣而言，從有限總體抽樣此關(guān)系近似成立)為

統(tǒng)計(jì)學(xué)中把樣本統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差又稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)誤（standard error)，因此樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差又稱(chēng)為均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤。均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤是描述均數(shù)的抽樣誤差的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)（變異指標(biāo))，均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤越大，則均數(shù)的抽樣誤差越大（更確切地說(shuō)，是抽樣誤差的波動(dòng)程度越大)。

由(7·15)式可見(jiàn)，個(gè)體X值的標(biāo)準(zhǔn)差σ越大，均數(shù) 值的標(biāo)準(zhǔn)誤

全相同的特殊情況，即σ=0，此時(shí)不管什么樣本，樣本中n個(gè)X值相同，所

別，n越大，這種均衡作用越大。從同一總體中抽樣，總體標(biāo)準(zhǔn)差為定值，因此要減小均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，降低抽樣誤差，只有加大樣本含量。

總體標(biāo)準(zhǔn)差σ一般是未知的，若用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s估計(jì)，則據(jù)（7·15)例7· 17 求例7·2中10名7歲男孩體重均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤。

在例7·9中已算得s=2.6kg，故

該地10名7歲男孩體重均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤為0.8kg。

上節(jié)（7·14)式曾說(shuō)明，若X服從正態(tài)分布N（μ，σ)，作正態(tài)變量X的u轉(zhuǎn)換u=（X-μ)/σ，則標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N（0，1)�，F(xiàn)從正態(tài)總體N（μ，σ)抽取含量n的樣本均數(shù) 服從正態(tài)分布N

如果知道總體標(biāo)準(zhǔn)差，上式的u可用作為推斷總體均數(shù)的樣本檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。u檢驗(yàn)就是基于此式。但一般的實(shí)際情況是總體標(biāo)準(zhǔn)差σ和總體均數(shù)μ都是未知的，此時(shí)不能用u來(lái)推斷總體均數(shù)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中證明，當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)，可作正態(tài)變量 的t轉(zhuǎn)換

t變量為樣本m.zxtf.net.cn/shouyi/檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，用以推斷總體均數(shù)。

個(gè)t值，所有可能的含量n的樣本t值構(gòu)成t變量的總體或t分布。

t分布只有1個(gè)參數(shù)——自由度ν，為計(jì)算t的標(biāo)準(zhǔn)差的自由度。（7·18)式t的ν=n-1，因?yàn)槠鋝的ν=n-1。t分布曲線(xiàn)如圖7-3所示。橫軸為t變量，縱軸為t的概率密度f(wàn)（t)。t分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)是：以0為中心，高峰位于0處，左右兩側(cè)對(duì)稱(chēng)；ν越小，t變量值的離散程度越大，曲線(xiàn)越扁平。t分布曲線(xiàn)較標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線(xiàn)要扁平些（高峰低些，兩尾部翹得高些)，若ν=∝，則t分布曲線(xiàn)和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線(xiàn)完全吻合。t分布曲線(xiàn)下的整個(gè)面積為1，t分布曲線(xiàn)下t從a到b（＞a)的面積為t值分布在此范圍內(nèi)的百分比，即t值落在此范圍內(nèi)的概率P。對(duì)于自由度為ν的t分布，如下定義t_α，v 值（取正值)，稱(chēng)為自由度為ν、P為α的t界值。

雙側(cè)： P（t≤-t_α，v)和P（t≥t_α，v)為α，由于t分布以0為中心對(duì)稱(chēng)，即

P（t≤-t_α，v)=P（t≥t_α，v)=α/2

于是有 P（-t_α，v＜t＜t_α，v)=1-α

單側(cè)：P（t≤-t_α，v)=α或P（t≥t_α，v)=α

由上可知，單側(cè)α和雙側(cè) 2α的t界值相同，即單側(cè)t_α,v=雙側(cè)t_2α,v。如ν=20時(shí)，單側(cè)t_0.05,20=雙側(cè)t_0,10,20。

根據(jù)t分布曲線(xiàn)下的面積計(jì)算，由ν值和α值可得出t_α,v值。表7-9是常用的t界值表，橫標(biāo)目為自由度ν，縱標(biāo)目為概率P（即α)。由表7-9可見(jiàn)，對(duì)于相同的自由度ν，α值越小，t_α,v值越大；對(duì)于相同的α值，自由度ν越大，t_α,v值越小。當(dāng)ν=∝時(shí)，則t_α,v=u_α，故查u界值即可查ν=∝的t界值。 

要說(shuō)明的是，若變量X服從偏態(tài)分布，但據(jù)中心極限定理，當(dāng)樣本含量足夠大時(shí)，其樣本均數(shù)近似服從正態(tài)分布，因此凡用u和t的推斷正態(tài)分布總體均數(shù)的統(tǒng)計(jì)方法，只要樣本含量足夠大（比如n＞30)，也可近似用于推斷偏態(tài)分布的總體均數(shù)。只是不對(duì)稱(chēng)的偏態(tài)分布總體不宜用均數(shù)來(lái)反映其平均水平。但如果偏態(tài)分布和正態(tài)分布相差不太遠(yuǎn)，用均數(shù)也不必太擔(dān)心會(huì)不恰當(dāng)。 

由樣本統(tǒng)計(jì)量推斷總體均數(shù)有2個(gè)重要方面：區(qū)間估計(jì)（interval estimation)和假設(shè)檢驗(yàn)（hypothesis testing)。先介紹總體均數(shù)的區(qū)間估計(jì)。

僅由樣本均數(shù)估計(jì)總體均數(shù)稱(chēng)為點(diǎn)估計(jì)（point estimation)。點(diǎn)估計(jì)雖然簡(jiǎn)單，但缺點(diǎn)是未考慮抽樣誤差�？傮w均數(shù)的區(qū)間估計(jì)是由抽樣誤差規(guī)律，按一定概率（可信度)估計(jì)總體均數(shù)在哪個(gè)區(qū)間（范圍)，稱(chēng)為總體均數(shù)的可信區(qū)間（confidence interval)。其可信度（confidence level)要預(yù)先確定�？尚哦扔�1-α表示，常用的可信度為95%，如要提高可信度則可用99%。

設(shè)正態(tài)總體為N（μ，σ)，從中隨機(jī)抽取含量n的樣本：X₁，X₂，…，X_n。要由樣本估計(jì)總體均數(shù)μ的1-α可信區(qū)間。

自由度ν=n-1的t分布，因此有

故總體均數(shù)μ的1—α可信區(qū)間為

可信區(qū)間的 2個(gè)端點(diǎn)值稱(chēng)為可信限（confidence limit)， -t_α,vs 為可信區(qū)間的下限， +t_α,vs 為可信區(qū)間的上限�？尚艆^(qū)間是指以上、下可信限為界的一個(gè)范圍，樣本均數(shù)作為總體均數(shù)的點(diǎn)估計(jì)處于可信區(qū)間中心。

例7·18 由例7·2中某地10名7歲男孩體重的樣本資料，求該地7歲男孩體重均數(shù)的95%可信區(qū)間。

ν=n-1=10-1=9， 1-α=0.95，α=0.05，查t界值表得雙側(cè)t界值t_0.05,9=2.262，故有

21.4±2.262×0.8=19.6～23.2（kg)

該地7歲男孩體重均數(shù)的95%可信區(qū)間為19.6～23.2kg。

可信度所指的可信區(qū)間包括總體均數(shù)的概率是事先對(duì)計(jì)算可信區(qū)間的公

的概率為95%。事后抽出樣本而得出具體的可信區(qū)間就不能那么說(shuō)了，如例7·18不能說(shuō)19.6～23.2kg包括總體均數(shù)的概率為95%，因?yàn)檫@時(shí)只有兩種情況，一是推斷正確，總體均數(shù)在該區(qū)間內(nèi)；一是推斷錯(cuò)誤，總體均數(shù)在該區(qū)間外。而究竟是哪種情況，又不能確定。但是依據(jù)一個(gè)事件發(fā)生的概率可作為該事件實(shí)際發(fā)生的平均頻率的道理，可得出結(jié)論：95%可信區(qū)間相當(dāng)每100個(gè)由含量相同的樣本算得的可信區(qū)間，平均有95個(gè)可信區(qū)間會(huì)包括總體均數(shù)，只有5個(gè)可信區(qū)間不會(huì)包括總體均數(shù)。5%是小概率，實(shí)際發(fā)生的可能性小，因此實(shí)際應(yīng)用中就認(rèn)為總體均數(shù)在算得的可信區(qū)間內(nèi)，所冒犯錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)為5%。

可信區(qū)間估計(jì)總體均數(shù)的準(zhǔn)確度即可信度。估計(jì)總體均數(shù)的精密度用可信區(qū)間的長(zhǎng)度（上可信限—下可信限)來(lái)衡量比較，該長(zhǎng)度越長(zhǎng)，精密度越低。要提高估計(jì)總體均數(shù)的精密度可用加大樣本含量來(lái)達(dá)到。因?yàn)閚加大，

但在樣本含量相同的情況下，若要提高估計(jì)總體均數(shù)的準(zhǔn)確度，則必會(huì)降低精密度。因?yàn)?—α加大，則α減小，t_a,n加大，可信區(qū)間的長(zhǎng)度變長(zhǎng)。如99%可信區(qū)間比95%可信區(qū)間精密度要低。

現(xiàn)介紹總體均數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)（t檢驗(yàn))。

1.總體均數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)（t檢驗(yàn))的基本思想總體均數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)（t檢驗(yàn))有2個(gè)目的：①推斷單個(gè)總體均數(shù)μ是否等于已知總體均數(shù)μ₀，設(shè)從均數(shù)為μ的總體抽取1個(gè)樣本，樣本均數(shù)為 ；②推斷兩個(gè)總體均數(shù)μ₁

μ=μ₀或μ₁=μ₂，這種情況差別相對(duì)小，稱(chēng)為差別無(wú)顯著性；②除了由抽樣誤差造成外，還由總體均數(shù)的差別造成，即μ≠μ₀或μ₁≠μ₂，這種情況差別相對(duì)大，稱(chēng)為差別有顯著性。因此假設(shè)檢驗(yàn)也可稱(chēng)為顯著性檢驗(yàn)

斷μ和μ₀或μ₁和μ₂是否相等是目的。其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為t，故亦稱(chēng)為t檢驗(yàn)。檢驗(yàn)的一般步驟如下（對(duì)照后例閱讀)：

(1)作出總體均數(shù)（μ)或其差別（μ₁-μ₂)的假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)（α)：檢驗(yàn)假設(shè)（也稱(chēng)無(wú)效假設(shè))為H₁：μ=μ₀（或μ₁=μ₂)。檢驗(yàn)假設(shè)的對(duì)立面?zhèn)鋼窦僭O(shè)為H₀，一般選用雙側(cè)μ≠μ₀（或μ₁≠μ₂)；如果某一側(cè)μ＜μ₀（或μ₁＜μ₂)或μ＞μ₀（或μ₁＞μ₂)憑理論或經(jīng)驗(yàn)判定實(shí)際不可能存在，或無(wú)實(shí)際價(jià)值、研究者不關(guān)心，則選用單側(cè)μ＞μ₀（或μ₁＞μ₂)或μ＜μ₀（或μ₁＜μ₂)。給抽樣誤差概率按雙側(cè)或單側(cè)確定某個(gè)水準(zhǔn)，稱(chēng)為檢驗(yàn)水準(zhǔn)（size of a test)，亦稱(chēng)顯著性水準(zhǔn)（significance level)，定為小概率，一般定α=0.05，如要減小α則可定α=0.01。本書(shū)例題采用單側(cè)檢驗(yàn)予以說(shuō)明，采用雙側(cè)檢驗(yàn)則省去說(shuō)明。

(2)根據(jù)檢驗(yàn)假設(shè)（H₀)，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（t)值：選用什么檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，決定于總體類(lèi)型和要推斷的總體參數(shù)。推斷正態(tài)總體均數(shù)，當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)，用t檢驗(yàn)（若總體標(biāo)準(zhǔn)差已知，則用u檢驗(yàn))。根據(jù)檢驗(yàn)假設(shè)所定求t值的公式計(jì)算t值。

(3)根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（t)值，以檢驗(yàn)水準(zhǔn)（α)判斷是否拒絕檢驗(yàn)假設(shè)

的高級(jí)職稱(chēng)考試網(wǎng)，可用所求得的t值以外（雙側(cè)或單側(cè))的t分布曲線(xiàn)以下的面積，即概率P值來(lái)衡量。表7-9的t界值表有雙側(cè)和單側(cè)的P=0.05和P=0.01，求P值可得出P＞0.05、P≤0.05和P≤0.01。若t≥t_α,v（由于t界值是取正值，當(dāng)求得的t值為負(fù)時(shí)，則�。黷｜)，即P≤α，則按α水準(zhǔn)拒絕

（指雙側(cè)，或μ₁≠μ₂)。拒絕H₀所冒犯錯(cuò)誤（無(wú)差別判斷為有差別)的風(fēng)險(xiǎn)為小概率α。若t＜t_α,v，即P＞α，由于接受H₀所冒犯錯(cuò)誤（有差別判斷為無(wú)差別)的概率未知，故一般說(shuō)成則按α水準(zhǔn)不

（或μ₁≠μ₂)。

2.樣本均數(shù)和總體均數(shù)比較的t檢驗(yàn)從正態(tài)總體N（μ，σ)隨機(jī)抽取含量n的樣本，推斷μ是否等于μ₀（一般為理論值或標(biāo)準(zhǔn)值，如正常人該指標(biāo)的均數(shù))。作 和μ₀比較的t檢驗(yàn)，用（7·18)式計(jì)算t值（式中μ為μ₀)，ν=n-1。

例7·19 已知健康成年男子的脈搏均數(shù)為72次/分。某醫(yī)生在一山區(qū)抽樣調(diào)查了25名健康成年男子，求得其脈搏均數(shù)為74.2次/分，標(biāo)準(zhǔn)差為6.0次/分。問(wèn)該山區(qū)成年男子的脈搏均數(shù)是否高于一般成年男子的脈搏均數(shù)？

已知一般成年男子脈搏數(shù)總體的均數(shù)μ₀為72次/分，設(shè)山區(qū)成年男子脈搏數(shù)總體的均數(shù)為μ，假設(shè)為：

H₀：μ=72次/分

H₁：μ＞72次/分

單側(cè)α=0.05

式有

查t界值表得P＞0.05。按α=0.05水準(zhǔn)不拒絕H₀，尚不能認(rèn)為山區(qū)成年男子的脈搏均數(shù)高于一般成年男子的脈搏均數(shù)。

3.配對(duì)差值均數(shù)和總體均數(shù)0比較的t檢驗(yàn)推斷兩個(gè)總體均數(shù)是否相等有配對(duì)設(shè)計(jì)和成組設(shè)計(jì)，先介紹配對(duì)設(shè)計(jì)。醫(yī)學(xué)研究的配對(duì)有同源配對(duì)和異源配對(duì)。同源配對(duì)為自身對(duì)照，是同一個(gè)體的處理前和后（如病人治療的前和后)、兩種處理方法（如血液化驗(yàn)的甲法和乙法)等配對(duì)或?qū)φ�；異源配�?duì)是將兩個(gè)個(gè)體按一些影響研究結(jié)果指標(biāo)的因素齊同配成對(duì)子，如將性別相同、年齡、生活、勞動(dòng)條件相近的兩個(gè)人配成對(duì)子，同對(duì)的兩個(gè)個(gè)體每個(gè)個(gè)體給予一種處理。配對(duì)設(shè)計(jì)資料的t檢驗(yàn)相對(duì)于成組設(shè)計(jì)資料的t檢驗(yàn)，如果樣本含量相同，可提高兩個(gè)總體均數(shù)差別的假設(shè)檢驗(yàn)的檢驗(yàn)效能（power of atest)——若兩個(gè)總體均數(shù)有差別通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)而判別有差別的概率；如果使檢驗(yàn)效能相同，則可減少樣本含量。

從正態(tài)總體N（μ₁，σ₁)和N（μ₂，σ₂)配對(duì)抽取n對(duì)變量值，配對(duì)差值d=X_d-X_d服從正態(tài)分布N（μ_d，σ_d)，其中μ_d=μ₁-μ₂，配對(duì)例7·20 用克矽平治療10名矽肺患者，治療前后血紅蛋白含量如表7-10。問(wèn)矽肺患者經(jīng)克矽平治療后血紅蛋白含量是否有改變？

設(shè)矽肺患者治療后血紅蛋白含量總體的均數(shù)為μ₁，原來(lái)血紅蛋白含量總體的均數(shù)為μ₂，μ_d=μ₁-μ₂，假設(shè)為：

H₀：μ_d=0

H₁：μ_d≠0

α=0.05今n=10，∑d=68，∑d²=2900，

據(jù)（7·20)式有

查t界值表得P＞0.05。按α=0.05水準(zhǔn)不拒絕H₀，尚不能認(rèn)為矽肺患者經(jīng)克矽平治療后血紅蛋白含量有改變。 

例7·21 某單位研究飲食中缺乏維生素E與肝中維生素A含量的關(guān)系，將同種屬的大白鼠按性別相同，年齡、體重相近配成8對(duì)，并將每對(duì)中的兩頭動(dòng)物隨機(jī)分到正常飼料組和維生素E缺乏組，然后定期將大白鼠殺死，測(cè)得其肝中維生素A的含量如表7-11。問(wèn)不同飼料的大白鼠肝中維生素A含量有無(wú)差別？

設(shè)正常飼料的大白鼠肝中維生素A含量總體的均數(shù)為μ₁，維生素E缺乏的大白鼠肝中維生素A含量總體的均數(shù)為μ₂，μ_d＝μ₁-μ₂，假設(shè)為：

H₀ ：μ_d=0

H₁：μ_d≠0

α=0.05今n=8，∑d=68.1，∑d²=808.67，

據(jù)（7·20)式有ν=8-1=7

查t界值表得P＜0.01。按α=0.05水準(zhǔn)拒絕H₀，接受H₁，認(rèn)為不同飼料的大白鼠肝中維生素A含量有差別，正常飼料的較高。 

4.兩個(gè)樣本均數(shù)比較的t檢驗(yàn)成組設(shè)計(jì)用t檢驗(yàn)，理論上要求兩個(gè)正態(tài)總體方差（或標(biāo)準(zhǔn)差)相等。由于一群變量值都加一個(gè)常數(shù)，只改變其均數(shù)，而不改變其方差，可以認(rèn)為自然的或人為的特定因素對(duì)某個(gè)指標(biāo)的影響，不會(huì)改變?cè)撝笜?biāo)的方差，因此在很多實(shí)際應(yīng)用情況，兩個(gè)總體方差相等或近似相等的條件常能滿(mǎn)足。

從正態(tài)總體N（μ₁，σ)和N（μ₂，σ)分別抽取含量n₁和n₂的樣當(dāng)μ₁=μ₂時(shí)的t變量為

值。

例7·22某克山病區(qū)抽樣測(cè)得11例急性克山病患者和13名健康人的血磷值如表7-12。問(wèn)急性克山病患者和健康人的血磷值是否不同？

設(shè)急性克山病患者血磷值總體的均數(shù)為μ₁，健康人血磷值總體的均數(shù)為μ₂，假設(shè)為：

H₀：μ₁=μ₂

H₁：μ₁≠μ₂

α=0.05

據(jù)（7·25)式有

查t界值表得P＜0.05。按α=0.05水準(zhǔn)拒絕H₀，接受H₁，認(rèn)為該地急性克山病患者和健康人的血磷值不同，患者較高。 

例7·23 某地抽查了25～29歲正常人群的紅細(xì)胞數(shù)，其中男性156人，得均數(shù)為4.651×10¹²/L，標(biāo)準(zhǔn)差為0.548×10¹²L；女性74人，得均數(shù)為4.222×10¹²/L，標(biāo)準(zhǔn)差為0.442×10¹²L。問(wèn)該人群男、女的紅細(xì)胞數(shù)有無(wú)差別？

設(shè)該人群男性紅細(xì)胞數(shù)總體的均數(shù)為μ₁，女性紅細(xì)胞數(shù)總體的均數(shù)為μ₂，被檢假設(shè)為：

H₀：μ₁=μ₂

H₁：μ₁≠μ₂

α=0.05

據(jù)（7·25)式有查t界值表（取靠近228的v=200)得P＜0.01。按α=0.05水準(zhǔn)拒絕H₀，接受H₁，認(rèn)為該人群男、女的紅細(xì)胞數(shù)有差別，男高于女。最后說(shuō)明兩個(gè)樣本幾何均數(shù)比較的t檢驗(yàn)，目的是推斷兩個(gè)總體幾何均數(shù)是否相等。原