變異指標(biāo)

　　一、變異指標(biāo)的意義及種類

　　設(shè)有甲乙兩人，對同一名患者采耳垂血，檢查紅細(xì)胞數(shù)（萬/mm³)，每人數(shù)五個計數(shù)盤，得結(jié)果為

　　兩人計數(shù)的均數(shù)都是500，能說兩人的檢驗技術(shù)相同嗎？不能，因為甲的計數(shù)結(jié)果比較密集，而乙的分散，因此甲的檢驗精度顯然比乙的高。從上可以看出：描述一群變量值，除用平均數(shù)等表示其集中位置外，還要說明其分散或變異情況。說明變異情況的特征值稱變異指標(biāo)。變異指標(biāo)的種類較多，下面分別介紹極差、四分位數(shù)間距、均差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差及變異系數(shù)。

　　1．極差　最大值與最小值之差稱極差（或全距)，符號為R，是變異指標(biāo)中最簡單的一種。如上例甲計數(shù)的極差為520－480=40，乙的為560-440=120。可見乙的計數(shù)較甲的波動大。一般把最小值與最大值寫在括號里，附在極差的后面。如上例寫成40（480～520)與120（440～560)。其單位與變量值的相同。

　　當(dāng)調(diào)查例數(shù)增多時，遇到較大或較小極端值的機會就加大，因此最大值與極差隨著例數(shù)的增多而加大，但最小值卻隨著例數(shù)的增多而變小。

　　極差計算簡便，但只考慮了最小、最大值，因此易受個別極端值的影響，且隨例數(shù)的多少而變動，不穩(wěn)定。僅用于粗略地說明變量值的變動范圍。但在正態(tài)分布中可用以估計標(biāo)準(zhǔn)值范圍，詳見有關(guān)文獻(xiàn)。

　　2．四分位數(shù)間距　極差的不穩(wěn)定主要是受兩極端數(shù)值的影響，于是有人將兩端數(shù)據(jù)按比例去掉一定例數(shù)，這樣所得數(shù)據(jù)就比較穩(wěn)定了。例如兩端各去掉25%，取中間50%數(shù)據(jù)的數(shù)值范圍，那么只要計算P₂₅與P₇₅，求P₇₅與P₂₅之差即得四分位數(shù)間距，符號為Q。

　　Q=P₇₅-P₂₅ （4.12)

　　例4.7　試計算表4.8七歲男童坐高的四分位數(shù)間距

　　求 P₂₅的位置102×.25=.25.5.

　　求 P₇₅的位置102×.75=.76.5.

　　求累計頻數(shù)得：

　　L₂₅=65，L₇₅=68，

　　A₂₅=22，A₇₅=75，

　　f₂₅=15, f₇₅=13, i=1

表4.8　7歲男童的坐高

　　代入式（4.5)得：

　　Q=68.12-65.23=2.89 cm

　　有50%的7歲男童，坐高在65.23～68.12cm之間，其四分位數(shù)間距為2.89cm。

　　3．均差　四分位數(shù)間距雖比極差穩(wěn)定，但仍只是兩點之間的距離，沒有利用每個變量值的信息。于是有人計算每個變量值與均數(shù)（或中位數(shù))差的絕對值之和，然后平均稱為均差（或平均直線差)作為變異指標(biāo)之一。

　　　　　 (4.13)

　　例4.8 試計算4.3中，心重的均差。

　　由例4.3知X=293.75g，代入式（4.13)得

　　4．方差　式式（4.13)中用變量值與均數(shù)之差的絕對值之和∑∣X-X∣，而不用離均差之和∑(X-X)是因為∑（X-X)=0，不能說明變異情況，故取絕對值以去掉負(fù)號。亦有人用平方的辦法，即用離均差平方和∑（X-x )²，既去掉了負(fù)號，又提高了指標(biāo)的靈敏性。因為數(shù)值愈大，平方后增大的愈多，所以離均差稍有變化，就能從指標(biāo)上反映出來。例如有甲乙兩組數(shù)據(jù)如下：

　　乙組僅有兩個數(shù)據(jù)與甲組的不同，這種不同從∑∣X-X∣或均差上是反映不出來的，但從∑（X-X)²上卻反映出來了。以∑（X-X)²組成的變異指標(biāo)有方差與標(biāo)準(zhǔn)差。方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，將在第八章討論，下面先介紹標(biāo)準(zhǔn)差。

　　二、標(biāo)準(zhǔn)差

　　1．標(biāo)準(zhǔn)差的公式　樣本標(biāo)準(zhǔn)差是用得最多的變異指標(biāo)，其公式為

　　 (4.14)

　　式（4.14)中的n-1是自由度。n個變量值本有n個自由度，但計算標(biāo)準(zhǔn)差時用了樣本均數(shù)X，因此就受到了一個條件即∑X= nX的限制。例如有4個數(shù)據(jù)，它們的均數(shù)為5。由于受到均數(shù)為5的限制，4個數(shù)據(jù)中只有3個可以任意指定。如果任意指定的是4、3、6，那么第4個數(shù)據(jù)只能是7，否則均數(shù)就不是5了。所以標(biāo)準(zhǔn)差的自由度為n-1。

　　2．標(biāo)準(zhǔn)差的計算

　�。�1)按基本公式（4.14)計算

　　例4.9 用例4.3資料計算心重的標(biāo)準(zhǔn)差。

　　已算得X=293.75g，代入式（4.14)得

　�。�2)遞推法當(dāng)用電子計算機進(jìn)行計算，希望每輸入一個數(shù)據(jù)，都能得到X與S，則將式（4.8)與式

　　（4.5)配合計算。

(4.15)

　　這里S_n表示n個數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，S_n-1表示n-1個數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。X_n是第n個數(shù)據(jù)，X_n-1是n-1個數(shù)據(jù)的均數(shù)。

　　例4.10 仍用例4.3資料，已算得前19例心重的X₁₉=292.37，S₁₉=38.71。X₂₀=320，代入式（4.15)得

　�。�3)直接法 不需先計算均數(shù)，直接用變量值代入式（4.16)或式(1.17)計算。

（4.16)　

　　或　　　(4.17)

　　式（4.16)的分子是由式（4.14)的分子簡化而得來的，證明如下。

　　例4．11用ELISA（酶聯(lián)免疫吸附測定)法檢測vero-E₆，細(xì)胞培養(yǎng)上清正常標(biāo)本10份的結(jié)果（100XOD₄₉₀值)為2，3，3，4，4，5，5，5，6，8，求標(biāo)準(zhǔn)差。

　　若用式（4.16)則先計算

　　∑X=2+3+3+…+6+8=45

　　∑X²=2²+3²+3²+…6²+8²=229

　　若用式（4.17)則先計算

　　∑fX=1×2+2×3+…+1×6+1×8=45

　　∑fX²=1×2²+2×3²+…1×6²+1×8²=229

　　然后代入式（4.16)或式（1.17)結(jié)果相同。

　　三、變異系數(shù)

　　上述各種變異指標(biāo)可用來比較同類事物變量值間的變異情況。各變異指標(biāo)的共同點是：值小表示變量值密集，值大表示變量值分散。但在有些情況下用標(biāo)準(zhǔn)差等變異指標(biāo)來比較就不適宜了。如某地7歲男童身高均數(shù)為123.10cm ，標(biāo)準(zhǔn)差為4.71cm;體重的均數(shù)為22.29kg，標(biāo)準(zhǔn)差為2.26kg。由于單位不同，我們不能因為4.71>2.26而說身高的變異大于體重，需要有另一個指標(biāo)，它不受單位的限制，那就是變異系數(shù)，其公式為：

　　CV=S/X×100%，X>0　　　　　　 （4.18)

　　也就是將標(biāo)準(zhǔn)差化為各自均數(shù)的百分?jǐn)?shù)，然后比較。這樣不但可以比較單位不同的變量值間的變異，而且可以比較均數(shù)相差懸殊的變量值間的變異。

　　上述7歲男童身高、體重的變異系數(shù)分別為

　　身高CV=4.17/123.10×100%=3.83%

　　體重CV=2.26/22.29×100%=10.14%

　　可見同一批兒童的體重變異比身高的大。

　　例4．12被試者9人，試驗時坐在舒適的牙科椅上測口腔壓力波幅PcmAq（厘米水柱)。然后外加呼吸阻力20cmAq（1/sec)，5分鐘時再測口腔壓力波幅結(jié)果如下。試比較外加呼吸阻力前后，口腔壓力波幅的變異。

表4.9　外加呼吸阻力前后的口腔壓力波幅

　　口腔壓力波幅，cmAg

　　外阻力前口腔壓力波幅的變異較大。

　　外加呼吸阻力前后的口腔壓力波幅的單位都是cmAq，如直接比較兩個標(biāo)準(zhǔn)差，可能會得出加阻力后數(shù)值變異較大的結(jié)論。但由于兩均數(shù)相差懸殊，加阻力后的均數(shù)幾乎是加阻力前的6倍，因此就不宜直接比較標(biāo)準(zhǔn)差而應(yīng)比較它們的變異系數(shù)。

　　變異系數(shù)還常用于比較多個樣品重復(fù)測定的誤差等。

　　運用變異系數(shù)時應(yīng)注意（1)有關(guān)的事物間才能作比較，不要將風(fēng)馬牛不相及的東西硬拉在一起作比較；（2)均數(shù)小于標(biāo)準(zhǔn)差時應(yīng)考慮其實際運用價值。因為在這種情況下，可能誇大變異，故不宜使用；（3)比較兩變異系數(shù)間是否真有差別，亦應(yīng)作假設(shè)檢驗，不能只看表面值就下結(jié)論。

　　[附]比較兩變異系數(shù)可用u檢驗，其公式為

　　式中V為以小數(shù)表示的變異系數(shù)，S_V²是變異系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤的平方，n是樣本含量。u是正態(tài)離差系數(shù)。

　　例4．13比較例4.12中兩總體變異系數(shù)間有無差別。

　　H₀：兩總體變異系數(shù)相等

　　H₁：兩總體變異系數(shù)不等

　　α=0.05

　　u>u_0.05,0.05>P>0.01,在α=0.05的水準(zhǔn)處拒絕H₀，接受H₁，兩總體變異系數(shù)不等。外加呼吸阻力前的口腔壓力波幅的變異較大。

　　四、運用變異指標(biāo)的注意事項

　　1．變異指標(biāo)表示變量值的變異情況或離中趨勢，常與位置指標(biāo)平均數(shù)結(jié)合運用，說明變量值集中的位置與離散程度。

　　2．變異指標(biāo)種類雖多，但任一變異指標(biāo)，其值大表示變異大，數(shù)值參差甚；值小表示變異小，數(shù)值較集中。比較兩個或幾個同類事物的變異，要用同一變異指標(biāo)。

　　3．正態(tài)分布資料宜用均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差（有時用方差)描述集中與離散情況，記為X±S。有了均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差就可根據(jù)正態(tài)分布理論將頻數(shù)分布描繪出來，進(jìn)一步可作正常值范圍估計與假設(shè)檢驗等（詳見第五至第七章)，應(yīng)用較廣。為便于計算，正態(tài)分布資料亦可用中位數(shù)、百分位數(shù)和四分位數(shù)間距等描述，其結(jié)果與用均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差相近。

　　偏態(tài)分布資料宜用中位數(shù)及四分位數(shù)間距、均差等描述。尤其在資料分布呈明顯偏態(tài)時，隨著例數(shù)的增多，中位數(shù)、四分位數(shù)間距及均差的代表性和穩(wěn)定性明顯優(yōu)于均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差及方差。

　　眾數(shù)和極差只用來對單峰資料作概括的描述。

　　4. 比較幾組資料的變異程度，若各組資料的單位不全相同，或均數(shù)相差懸殊時，用變異系數(shù)。

　　5．判斷幾個方差或變異系數(shù)間有無顯著差別，需作假設(shè)檢驗，不能只看表面值。詳見第七、第八章有關(guān)內(nèi)容。